Boinc - Equipe de la Science

Le problème de Riesel : Définition et Etat des recherches

Page d'origine de cette traduction

En 1956 Hans Riesel a exposé les résultats suivant.

Théorème. Il existe presque une infinité de nombres entiers impairs k tels que k.2ⁿ - 1 pour tout n > 1.

En fait, Riesel a prouvé que k₀ = 509203 a cette propriété, et également les multiplicateurs k_r = k₀ + 11184810r pour r = 1, 2, 3,…. De tels nombres s'appellent les nombres de Riesel en raison de leur similitude avec les nombres de Sierpinski. Le problème de Riesel consiste à déterminer le plus petit nombre de Riesel.

Conjecture. Le nombre entier k = 509203 est le plus petit nombre de Riesel.

Pour prouver la conjecture, il suffit de trouver un nombre premier k.2ⁿ - 1 pour chaque k < 509203. Une approche raisonnable du problème est de déterminer pour chaque cas le premier exposant n donnant un nombre premier k.2ⁿ - 1 . Ainsi nous pouvons observer le taux exact pour lequel les 254601 multiplicateurs k < 509203 sont successivement éliminés, ce qui peux nous permettre de prévoir par extrapolation leurs décroissances successives

Si vous voulez participer aux recherches, voir svp le statut de recherche pour les candidats restants.

Afin de récapituler les résultats connus, définissons f_m comme le nombre de multiplicateurs k < 509203 donnant leur premier nombre premier k.2n - 1 pour un exposant n dans l'intervalle 2^m < n < 2^m+1. Puis f₀ = 39867 est le nombre de ces k pour lequel k.2 - 1 est un nombre premier, le premier étant k = 3 (note que 1x2 - 1 = 1 n'est pas considéré comme un nombre premier). Plus généralement, les fréquences suivantes ont été déterminées :

• La fréquence f_m pour m < 10 a été calculée pour la première fois par Wilfrid Keller en 1992 et a été indépendamment validées par Yves Gallot, qui a prolongé les calculs pour m < 13. Ce rang a été terminé le 11 Mai 1998.
  
• Plus tard, Ray Ballinger, Wilfrid Keller, et Skip Key ont calculé f₁₄ = 87, en trouvant que les nombres premiers 21, 25, et 41 ont un n respectivement compris entre 16384 < n < 32768. Ces calculs ont été terminés le 14 Novembre 1998.
  
• La valeur pour f ₁₅ = 62 a été établie le 9 Avril 1999 (corrigée le 12 May 1999, et le 20 Avril 2000). Les nombres premiers correspondant à k .2 ⁿ - 1 entre 32768 < n < 65536 furent découvert par Ray Ballinger (5 nombres premiers), Kenneth Brazier (1 nombre premier), Chris Caldwell (2 nombres premiers), Wilfrid Keller (13 nombres premiers), Skip Key (22 nombres premiers), Tom Kuechler (1 nombre premier), et Dave Linton (18 nombres premiers). Les autres contributeurs à cette recherche furent David Anderson, Chad Davis, Yves Gallot, Michal Misztal, Anton Oleynick, Michael Peake, Janusz Szmidt, et Helmut Zeisel.
  
• La valeur pour f ₁₆ = 38 a été établie le 22 Octobre 1999. Les nombres premiers correspondant à k .2 ⁿ - 1 avec n compris entre 65536 < n < 131072 furent découvert par Ray Ballinger (2 nombres premiers), Yves Gallot (1 nombre premier), Wilfrid Keller (4 nombres premiers), Skip Key (5 nombres premiers), Dave Linton (25 nombres premiers), et Helmut Zeisel (1 nombre premier). Les autres contributeurs à cette recherche furent David Anderson, Chris Caldwell, Tom Kuechler, Michal Misztal, and Anton Oleynick.
  
• La valeur pour f ₁₇ = 35 a été établie le 13 Juillet 2001. Les nombres premiers correspondant à k .2 ⁿ - 1 avec n compris entre 131072 < n < 262144 furent découvert par Andres Aitsen (1 nombre premier), Ray Ballinger (2 nombres premiers), Lew Baxter (1 nombre premier), Yves Gallot (1 nombre premier), Olivier Haeberlé (1 nombre premier), Richard Heylen (1 nombre premier), Dave Linton (25 nombres premiers), Patrick Pirson (1 nombre premier), Janusz Szmidt (1 nombre premier), and Helmut Zeisel (1 nombre premier). Other contributors to this segment were David Anderson, Steven Harvey, Wilfrid Keller, Skip Key, David Kokales, Tom Kuechler, Eugen Muischnek, Kevin O'Hare, Anton Oleynick, et Steven Whitaker.
  
• La valeur f ₁₈ = 25 a été établie le 4 décembre 2003. Les nombres premiers correspondant à k .2 ⁿ - 1 avec n compris entre 262144 < n < 524288 furent découvert par Dale Andrews (1 nombre premier), Ray Ballinger (4 nombres premiers), Daval Davis (1 nombre premier), Olivier Haeberlé (1 nombre premier), Richard Heylen (2 nombres premiers), Reto Keiser (1 nombre premier), Tom Kuechler (1 nombre premier), Nuutti Kuosa (1 nombre premier), Dave Linton (6 nombres premiers), Patrick Pirson (1 nombre premier), Mark Rodenkirch (1 nombre premier), Lucas Schmid (1 nombre premier), Janusz Szmidt (2 nombres premiers), Jeff Wolfe (1 nombre premier), and Helmut Zeisel (1 nombre premier), et se distribuent de la façon suivante :
  
  

  k	n	Découvreur	Date
  27253	272347	Ray Ballinger	1998
  39269	287048	Richard Heylen	25 Mars 2002
  42779	322908	Ray Ballinger	1999
  43541	507098	Ray Ballinger	01 Oct. 2000
  46271	428210	Patrick Pirson	29 Avril 2001
  104917	340181	Janusz Szmidt	1999
  130139	280296	Dale Andrews	02 Fev. 2002
  144643	498079	Richard Heylen	12 Dec. 2000
  148901	360338	Mark Rodenkirch	05 Mars 2002
  159371	284166	Janusz Szmidt	14 Janv. 2002
  189463	324103	Dave Linton	2000
  201193	457615	Daval Davis	03 Fev. 2003
  220063	306335	Olivier Haeberlé	1999
  235601	295338	Helmut Zeisel	06 Mars 2003
  245051	285750	Tom Kuechler	2000
  267763	264115	Dave Linton	2000
  277153	429819	Jeff Wolfe	21 Nov. 2002
  299617	428917	Dave Linton	22 Juil. 2002
  376993	293603	Reto Keiser	08 Sept. 2002
  382691	431722	Ray Ballinger	27 Fev. 2003
  398533	419107	Dave Linton	04 Sept. 2002
  401617	470149	Dave Linton	27 Dec. 2002
  416413	424791	Dave Linton	28 Avril 2003
  443857	369457	Nuutti Kuosa	27 Août 2001
  465869	497596	Lucas Schmid	27 Jan. 2003

  
  D'autres contributeurs à cette recherche : Claude Abraham, Andres Aitsen, Torbjörn Alm, David Anderson, Brian Beesley, Chris Florin, Steven Harvey, Richard Kapek, Craig Kitchen, David Kokales, Michael Kwok, Eugen Muischnek, Kevin O'Hare, Anton Oleynick, Daniel Papp, Thomas Ritschel, Steve Scott, Peter Shaw, Jiong Sun, Andrew Walker, Steven Whitaker, et Thomas Wolter.
  
  
• La valeur pour f ₁₉ = 21 a été établie le 23 Septembre 2004. Les nombres premiers correspondant à k .2 ⁿ - 1 avec n compris entre 524288 < n < 1048576 furent découvert par Olivier Haeberlé (10 nombres premiers), le Projet Riesel Sieve (7 nombres premiers), Ray Ballinger (1 nombre premier), Richard Heylen (1 nombre premier), Dave Linton (1 nombre premier), and Lucas Schmid (1 nombre premier), et se distribuent de la façon suivante :
  
  

  k	n	Découvreur	Date
  659	800516	Dave Linton	01 Mars 2004
  89707	578313	Richard Heylen	02 Avril 2003
  93997	864401	Riesel Sieve Project	01 Avril 2004
  98939	575144	Olivier Haeberlé	30 Nov. 2001
  103259	615076	Olivier Haeberlé	23 Dec. 2002
  109897	630221	Olivier Haeberlé	22 Avril 2003
  126667	626497	Ray Ballinger	09 Juin 2003
  170591	866870	Riesel Sieve Project	15 Avril 2004
  204223	696891	Olivier Haeberlé	23 Mars 2003
  212893	730387	Olivier Haeberlé	15 Oct. 2003
  215503	649891	Olivier Haeberlé	28 Avril 2003
  220033	719731	Olivier Haeberlé	19 Avril 2004
  222997	613153	Olivier Haeberlé	28 Nov. 2001
  246299	752600	Projet Riesel Sieve	23 Janv. 2004
  261221	689422	Projet Riesel Sieve	22 Dec. 2003
  279703	616235	Projet Riesel Sieve	07 Jan. 2004
  309817	901173	Projet Riesel Sieve	07 Juin 2004
  357491	609338	Lucas Schmid	17 Jan. 2003
  401143	532927	Olivier Haeberlé	11 Juin 2003
  458743	547791	Olivier Haeberlé	22 Oct. 2003
  460139	779536	Projet Riesel Sieve	26 Mars 2004

  
  D'autres contributeurs n'ont pas été assez chanceux pour tomber sur un nombre premier, parmis eux Claude Abraham, Dale Andrews, Rolan Christofferson, Tom Ehlert, Chris Florin, Jason Fraser, Reto Keiser, Craig Kitchen, Tom Kuechler, Michael Kwok, Kent McArthur, Eugen Muischnek, Kevin O'Hare, Jean Penné, Patrick Pirson, Thomas Ritschel, Steve Scott, Guido Smetrijns, Jiong Sun, Randy Wilson, Jeff Wolfe, Thomas Wolter, and Helmut Zeisel.

Comme le montre les résultats globaux des calculs exposés ci-dessus, on a laissé de coté 90 valeurs de k qui n'avaient aucun nombre premier k .2 ⁿ - 1 pour n < 1048576 = 2 ²⁰ . Pour ces 90 valeurs incertaines de k, on en a éliminé jusqu'ici 20 par la découverte des nombres premiers k .2 ⁿ - 1 pour les paires k , n  :

Le plus grand nombre premier a été découvert pendant cette recherche c'est un nombre premier à 694755 chiffres 450457.2 ^2307905 - 1.

Réferences.

• H. Riesel, Några stora primtal (en suédois : quelques grands nombres premier), Elementa 39 (1956), 258-260.
• W. Keller, Factors of Fermat numbers and large primes of the form k .2 n + 1, II, manuscrit non publié, Hambourg, Septembre 1992.
• Y. Gallot, données non publiées, 1998.
• Y. Gallot, On the number of primes in a sequence, http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/papers/ ,2001.

Pour plus d'information voire la page relative aux nombres de Riesel dans le glossaire de Chris Caldwell.

Pour toutes questions sur cette page internet s'addresser à Ray Ballinger où à Wilfrid Keller

La conjecture de Riesel : Etats des recherche pour les candidats restants

Page d'origine de la traduction

Afin de déterminer les fréquences f _m pour m = 15, 16, 17, 18, . . ., la recherche des multiplicateurs k n'ayant pas de nombre premier k .2 ⁿ - 1 pour n < 32768 était organisé en plusieurs étapes :

1. Cette étape se rapporte à l'interval 32768 < n < 65536 et a été accomplie le 9 Avril 1999. Le résultat de la fonction était f ₁₅ = 62.
2. Cette étape se rapporte à l'interval 65536 < n < 131072 et a été accomplie le 22 Octobre 1999. Le résultat de la fonction était f ₁₆ = 38.
3. Cette étape se rapporte à l'interval 131072 < n < 262144 et a été accomplie le 13 Juillet 2001. Le résultat de la fonction était f ₁₇ = 35.
4. Cette étape se rapporte à l'interval 262144 < n < 524288 et a été accomplie le 4 Decembre 2003. Le résultat de la fonction était f ₁₈ = 25.
5. Cette étape se rapporte à l'interval 524288 < n < 1048576 et a été accomplie le 23 Septembre 2004. Le résultat de la fonction était f ₁₉ = 21.
6. Cette étape se rapporte à l'interval 1048576 < n < 2097152 et definie la valeur pour le moment inconnu de la fonction f ₂₀ .
7. Cette étape se rapporte à l'interval 2097152 < n < 4194304 et definie la valeur pour le moment inconnu de la fonction f ₂₁ .

• Nombres premiers trouvés pour l'étape 1 :  62
• Etape 1 accomplie.
• Nombres premiers trouvés pour l'étape 2 :  38
• Etape 2 accomplie.
• Nombres premiers trouvés pour l'étape 3 :  35
• Etape 3 accomplie.
• Nombres premiers trouvés pour l'étape 4 :  25
• Etape 4 accomplie.
• Nombres premiers trouvés pour l'étape 5 :  21
• Etape 5 accomplie.
• Nombres premiers trouvés pour l'étape 6 :  17
• Réservations pour l'étape 6 : 2 valeur pour k
• Nombres premiers trouvés pour l'étape 7 :   3
• Réservations pour l'étape 7 : 68 valeurs pour k

The latest eliminated candidates

k	Exposant	Découvreur	Date
114487	2198389	Projet Riesel Sieve	23 Mai 2006
196597	2178109	Projet Riesel Sieve	09 Mai 2006
450457	2307905	Projet Riesel Sieve	28 Mars 2006

Valeurs de k  recherchée pour n > 2097152

Valeurs de k  recherchée pour n > 1048576

Pour toutes questions sur cette page internet s'addresser à Ray Ballinger où à Wilfrid Keller